De Matheseos usu
In rebus Physicis et Mechanicis amplificandisamplicifandis augendisque Mentis Humanae viribus Disputatio
Habita in Gymnasio Patavino a Comite Hieronymo
de Renaldis P. P. Nonis Novembris Anno MDCCLXIII.
Mathematicae elementa ex instituto et munere meo explicaturus non inutilem ponere operam arbitror, auditores, si ea quanti per se momenti sint, et quale praesidium afferant ad sapientiam universam comparandam peculiari disputatione vobis aperiam. Si enim omnium consensu tam reconditae sunt mathematicae disciplinae, tam laboriosae, ut deterreant potius discentium animos quam alliciant, cur non est nobis magnopere elaborandum, ut eos difficultate tanta perterritos erigat res pulcherrimas utilissimasque cognoscendi spes? Quae non certe melius excitari posse videtur, quam si in ipsa rerum pulchritudo et utilitas satis evidenter ex omni parte deducta fuerit atque explicata. Nolim autem me pro mathematica disceptaturum ex iis unum esse existimetis, auditores, qui hanc solam veram ac germanam disciplinam esse volunt, eam ad caelum usque supra caeteras aures extol
lunt parum laborantes, iure ne, an iniuria in rem quamlibet intrudant; mea certe quidem tantum abest ab illa cogitandi ratione, ut non parum sapere eum putem qui de toto litterarum genere temperare admodum iudicat, planeque persuasum habeam consensu quodam ad se invicem referri disciplinas omnes, suam proinde cuique utilitatem esse atque praestantiam et merito in doctorum hominum reprehensionem incurrere qui alteram prae altera supra modum et rei naturam promovere conantur.
Itaque, ut omnia perspicuo ordine veluti oculis veluti subiciantur, placeat rem paulo altius repetere atque humanae sapientiae fontes originesque aperire. Quidquid existit in hac immensa rerum universitate multis variisque modis pro cuiusque natura sensus afficiens totam primum insculpsit animis idearum seriem, quibus rerum corporearum vires, variationes et proportiones exhibentur. Porro cum species illas sensuum sibi ministerio inditas, ea qua pollent vi mens excitabitur interiusque contemplatur, earum alteram ab altera distinguit, cum aliis contra componit alias, itaque novas quasdam ipsa notiones conficit universales, quarum ope principia quaedam certa et perspicua constituit, unde nostra
cognoscendi vis et conditio potissimum pendet. Quo etenim magis principia haec fecunda sunt et generalia, quo plus humanae ac civilis vitae usui accommodata, et quo subtilius inter se invicem ordinata et connexa, eo magis ampla, fructuosa et solida verum cognitio comparatur.
Habetis, auditores, unde ubertas omnis et utilitas, unde veritas etiam et certitudo humanae sapientiae prodeat universae. Nunc igitur ad haec quantum conferat institutio matheseos intelligetis. Magnitudo, cuius quidem notitia sive idea ex iis est una, potissimum, quae nostrae menti de rerum natura meditanti imprimis observatur, id universa comprehendit, in quo tota mathematicorum industria occupatur. Non quidem illam ut materiae immersam concipiunt rebusque regularibus adstrictam, sed prout ea singula est et incorporea, quae ab individuis rebus abducta et praecisa existit in mente ipsa. Ubi vero generalem hanc magnitudinis ideam ita sibi comparaverint, illud animadverterunt quod finita cum sit suisque limitibus circumscripta, figurarum varietate et partium multitudine possit in immensum affici atque distin
gui. Quorum quidem alterum, affectiones nempe figurarum suae contemplationi geometria potissimum subicit, alterum vero, partium scilicet numerum et proportionem calculo subducere, proprie ad analysim spectat. Quoniam vero et figurae cuiusvis affectio in situ et collocatione partium posita est, et partium vicissim proportio ad figuras praecipue referre solet, inter utramque disciplinam oritur inde consensio quaedam seu harmonia prope divina, qua inito veluti foedere ad veritatem ex latebris educendam mirifice conspirant.
Geometriae igitur continuam et figuratam magnitudinem contemplari pervestiganda occurrit imprimis positio multiplex figurarum et angulorum, quibus omnes figurarum varietas contineatur. Postquam vero quae lineis quibuscumque conveniant, proprietates quaeque angulis ita cognovit variasque figurarum species atque ortus inde definivit, tum vel seorsim quamlibet earum perpendens vel conferens aliam cum alia eiusdem ordinis vel diversi, quae uniuscuiusque sint affectiones propriae, quaeque inter eas communis extet ratio inquirit subtiliter solideque deducit. Neque vero in hoc tantum finitae rectaeque magnitudinis
genere geometriae coercetur inventio, sed latius excurrens curvilineas etiam magnitudines comprehendit sive certis limitibus ipsae consistant, sive in infinitum usque progrediantur, earumque innumeras ferme detegunt proprietates, tum quod lineas angulosque ipsis adhaerentes, tum quod spatia et corpora ex iis undique circumscripta. Omnis autem haec geometrica investigatio eo potissimum redit, ut per multiplices proportionum leges, quas recta et curva finita atque infinita subdit magnitudo, solide demonstrarentur. In quo profecto cum geometria vel maxime consentit analysis atque in toto ipsius investigationis cursu se illi sociam quodammodo adiungit, scilicet haec per uberrimum illum rationis et proportionis campum libere percurrens, generatim principia quaedam evolvit et suarum compendio litterarum feliciter explicat. Quibus in subsidione adhibitis, quidquid sublimius, quidquid praeclarius est in geometricis rebus, ea admirabili ac divina quaedam arte deducit. Quae quidem omnia, auditores, de continua ac divisa magnitudine eiusque variis figuris et proportionibus per geometriam et analysim mirifice perquisita et in
tenta, iam vos per sapientiam vestram perspicere arbitror quem consensum habeant et nexum cum illa figurarum varietate ac multiplici virium, motuum ac dimensionum proportionem, quibus huiusce mundi machina a summi conditoris sapientia inde utque ab initio constituta, iisdem etiam nunc ipsius providentia gubernatur. Innumeras etenim figuras, quibus corpora naturalia a se invicem distinguuntur, tot invicem directiones et gradus quibus corpora ipsa ad motum excitantur, ipsorum denique motuum tam multae ac diversae rationes quibus omnia perpetua vicissitudine fluunt ac dilabuntur, quidni veluti tot universae illius magnitudinis species, suis quidem geometria lineis suoque analysis calculo subicere possint? Iis autem ad mathematicae contemplationem et examen ita revocari quam facile, quam accurate latentes effectuum naturalium causae simul innotescant? Et sane, ut hinc exordiarexhordiar, doctrina virium et motuum maxima generalis, tota mathematicis suffulta principiis, quae et quanta naturae arcana iamdiu philosophis interclusa ac prorsus impervia nostris praesertim temporibus reservavit? Etenim post
Archimedem veterum geometrarum principem, qui in explorando corporum aequilibrio doctrinae huius {a} ArchimedisPlanorum aequeponderantesaequiponderantesinventa vel centra gravitatis planorum, editum Pisauri anno 1588. specimen dederat, eam primus omnium naturalis philosophiae instaurator Galilaeus {B} Discursus et demonstrationes mathematicae circa duas novas scientias pertinentes ad mechanicam et motum localem, editum Lugduni Batavorum 1699. ad phaenomena descensus corporum gravium et ascensus accurate satis explicanda revocavit.
Ad leges vero motus ex mutua corporum percussione detegendas transtulit imprimis Cartesius {C}, Principia Philosophiae, Francofourti ad Moenum 1695. tum felicius longe Hugenius {D}, De motu corporum, tomo 2 operum, Amstelodami 1728.Vallisius {E}, De Mechanica siveseuDe motu, Oxonii 1669, 4.Wrennius {F}. Transactiones Anglicanae, numero 48, pagina 864. Porro quam egregie motus alios, quos oscillationes pendulorum appellantur, Hugenius {G} Horologium oscillatorum sive de motu pendulorum, vol. I Operum, Lugduni Batavorum 1724. ipse definivit? Quam solide descensum etiam et ascensum gravium in lineis curvis Leibnitius {H}, Acta eruditorum Lipsiensia anno 1694.Her
mannus {I}, Phoronomiam, pars 2, Amstelodami 1716.Bernoullis fratres {K} Acta eruditorum Lipsiensia anno 1691. explicarunt? Ut inter eos demum unus extiterit philosophus idemque geometra praestantissimus Isaacus Newtonus {L}, Principia mathematica philosophiae naturalis, Londini 1726, 4. qui supra hominum expectationem virim centralium legibus explicatis, earum ope cum inventa ab aliis omnibus explicavit amplificavit, tum ipsius dynamicae constituit uberiora et simpliciora principia, tum ea demum ab universali rerum naturalium contemplatione ad peculiarem corporum caelestium eorumque motuum cognitionem derivavit. Tam multa profecto sunt tantique momenti quae in eius egregio Principiorum opere> continentur, ut recte illud ipsius naturae codicem appellaveris.
Subsidia haec prima sunt, auditores, quae ex mathesi prodierunt ad generale philosophiae naturalis systema solide construendum subtiliterque exornandum; non minora profecto illa sunt, quae ad singulas etiam ipsius partes doctissimorum hominum in
dustria permanarunt. Ex iis etenim principiis tum corporum fluidorum compressiones et aequilibria {M} Vide ArchimedisDe insidentibus aquae, Venetiis 1543. Danielis Bernoulli, Hydrodynamica, sive de viribus et motibus fluidorum commentarii, Argentorati 1734, 4. MariotteTraité du mouvement des eauxet.Paris anno 1686, 4. proportionem variam ex ponderibus iisdem immensis prodeuntem atque impetum et cursum aquarum, tum aeris vim gravem et elasticam {N}, Vide WolfiiElementa aerometriae, Lipsiae 1709, 12. densitatis et expansionis gradus eiusdemque motus et aequilibrii leges, tum lucis naturam {O} Vide NewtoniOptice, sive de reflexionibus, refractionibus libri 3, Lugduni 1714, 4. eiusque in directos, reflexos et refractos radios derivationem ac ortam inde colorum varietatem visusque amplitudinem et discrimen, tum denique soni affectiones et momenta {P} Vide Leonardi EuleriTentamen novae theoriae musicae, 4, Petropoli 1739. sub diversa lege vibrationis edita simulque ad concentum et harmoniam mirifice tempe
rata idque genus alia innumera in physicis magni illi naturae interpretes Torricellius, Mersennus, Paschalius, Keplerus, Barrowius, Warignonius, Borellus, collatis simul viribus, deduxerunt. Atque haec est contemplatricis imago matheseos eiusdemque in naturali scientia utilitas leviter vobis adumbrata. Unde praesertim illud intelligitis, unam hanc facultatem suarum aptitudine idearum et principiorum universitatem rerum naturalium comprehendere. Extat porro matheseos pars altera, quae tota quidem ad praxim flectitur, quaeque vel subtilissimas speculationes ad vitae civilis commodum usumque convertit; nimirum ubi geometrae magno ingenii conatu proprias cuiusvis magnitudinis proportiones detexerunt, industriam eo potissimum conferunt, ut describendi quamplurimas figurarum species easque cum dimetiendi, tum dividendi rationem inde deducant. Itaque praeter lineas atque angulos, quorum affectio simplex est, ad figuram quamlibet rectam tribus pluribusque terminis definitam curvamque multis variisque modis circumscriptam delineandam
suscipiunt; tum huiusmodi figurarum non modo lineas et angulos, sed etiam superficies et corpora, quae ad eas pertinent, quantum ipsa rei natura patitur, ad mensuram geometricam revocare conantur. Postremo ad divisionem etiam cuiusvis simplicis magnitudinis per varios proportionum gradus instituendam, pulcherrimas regulas certissimasque constituunt, quas deinde figuris aliis non ita recte terminalis multifariam dispertiendis applicare posse mirifice docent. At omnia haec solidius uberiusque, duce et comite analysianalysis, geometria quidem absolvit; per illam etenim, novo praesertim calculo infinitorum adhibito, invento nostrae aetatis omnium praestantissimo seu pro descriptione figuratae magnitudinis idonea quaelibet analogia, seu pro mensura proprium quodvis elementum, seu denique pro divisione ipsius quota pars quaeque expedito ac mirabili simul artificio determinatur.
Quibus ita exploratis, nemini quidem vestrum, auditores, permirum videbitur, si a principiis hisce matheseos, quae ad praxim attinent ceu a perenni atque
uberrimo, fonte inventa plura in dies ad incrementum artium vitaeque humanae utilitatem proficiscantur. Quodnam extat artis opus, quae sunt hominum effecta manu, cuius firmitas officium et ornamentum in compositione quadam atque ordine partium certisque mensurae gradibus non constituta esse videntur? Qui tandem fieri possit in vita civili, ut quanta vel quaeque sit, probe aestimare, et quae sua ad quemque spectat portio decernere valeamus, nisi nobis suas illas mathematici regulas tradiderunt? Et sane praescriptus ab iis dimetiendi rationes, quam accurate, ut quaeque inter longe lateque loca distent {Q} Vide Mallet, Geometria practica tomi 4, Paris 1702, et Nouelle geometrie pratique ecc. per monsieur Ozanam, Paris 1693. eaque in profundo lateant, vel in altum emineant, cuius rei tam frequens et eximius usus est, ad investigandum dignoscendumque solertissimi viri contulerunt? Quam opportune iis etiam utimur in agris aliisque soli partibus ordinate metiendis riteque eorum terminis definiendis {R}, Vide Philippe de la HireL'école des arpenteurs, Paris 1689. quibus imprimis suum cuique decernitur ius, ac tot praeterea
iurgia litesque inter homines dirimuntur? Quam utiliter denique illae transferri solent ad peculiares mensuras ponderis {S}, Vide WolfiiElementa staticae, opereMatheseos, tomo 3, sen. 4. capacitatis et longitudinis, quarum ad normam rerum omnium praetia constituuntur; commutatio quaecumque perficitur et, ut singula complectar simul, cum terrae tum magnae negotiationes diriguntur universae? Ad regulas vero quod attinet, tam magnitudines dividendi quam describendi figuras idoneae utilesque illae potissimum compertae sunt in munimentis urbium extruendis in bellicis tormentis {T} Vide Bélidor, La science des ingegnieurs etc., HayeCom.ne 1734, 4, et Blondel, L'art de jetter les bombes etc., Paris 1683, 4. ad scopum quemlibet collineandis, quarum artium fundamento et securitas civium et totius rei publicae salus innititur. Quantum praeterea non ornamenti solum {V}, Vide Architecture moderne, Paris 1728, . sed soliditatis etiam aedificiis attulerunt, quo fit ut ea suo quaeque usui ac instituto respondeant simulque pulchritudine ac magnificentia praecellant?
Quid ego commemorem tot machinas summo artificio elaboratas, quarum adiumento {X} Vide de Camus, Traité des forces mouvantes, Paris 1728, 8, et Machines et inventions etc., tomo 6, 1735, 4. ingens moveri pondus idemque in altum extolli potest, idque effici exigua vi unius hominis, quod aliquando conspirantibus multorum viribus praestari nequeat? Quid tot instrumenta subtiliter {Y} Vide Bion, Traité de la construction et des principaux usages des instruments etc., Haye 1723, 4. elaborata, quibus praecipue {Z} Ibidem, livre septième. navigandi ratio, qua commercium inter gentes tam terrarum orbe diffunditur et practicae artes aliae insigne admodum incrementum susceperunt? Vel unum prae caeteris automa {2} Vide Jacobi AlexandriTraité général des horologes, Paris 1734, 8. illud ex variis rotarum ordinibus figurisque contextum, quod temporis mensuram solis ipsius motu exhibet accurationem, quanti sit praxeos mathematicae utilitas luculenter evincit. Sed iam longius quam par est excurrit oratio, quare praetereo innumera alia quae in publicos privatosque usus ex eodem fonte
emolumenta saepissime manarunt, ut satis appareat ex iis, quae hactenus iudicavi, quidquid mechanici utilius, quidquis praestantius afferunt caeteris hominibus, totum id mathematicorum regulis principiisque deberi.
Iam reliquum est illud, ut per geometriae et analysis institutionem vires augeri humanae mentis ostendam eamque componi rectius ad veritatem atque sapientiam demonstremus. Quas enim geometrae pro diverso magnitudinis genere multiplices sibi notiones compararunt, eos primum attente admodum contemplatur, distinguunt seorsim singula, utque in earum significatione consentiant sibique perpetuo constent, opposite et distincte deficiunt. Postea vero quam ideas ita puras, ita simplices redidere, habitudines quasdam prima mentis reflexione sponte quasi oblatas sigillatim deprehendunt easque ut maxime conspicuas et generales veluti aliarum omnium fundamenta constituunt; caute hinc admodum ad conclusiones progrediuntur, quarum facillimas primo colligunt ac per se satis evidentes, hisque deinde in subsidium adhibitis gradatum alias atque
alias ita deducunt, ut demum ad sublimiora quaeque theoremata demonstranda viam sibi sternant aditumque recludant; illum perpetuo servantes ordinem, ut ex antea cognitis riteque perspectis accedant, ad ea, quae debent investigari, ut nihil quidquam non per se manifestum, vel non satis exploratum assumant, ut omnia naturali ac necessaria forma ratiocinia connectant, ut tamdiu denique eorum nexum et catenam protendant, donec perspicue simul ac certe quaesita veritas innotescat.
Iisdem sane principiis, at via parum diversa ad ideas suas comparandas procedit analysis, non ea quidem tam longe lateque sese effundit, neque tot ratiocinia simul tamque praeclaro ordine obtexta comprehendit, sed peculiarem instruxit rei cuiusvis propositae disquisitionem eamque utcumque involutam et difficilem feliciter expedit. Quidquid igitur per analysim investigandum suscipitur, quod magnitudinem spectat, suas in partes primum accurate resolvitur singulisque partibus
notio certa signumque proprium assignatur, tum ea, quae iam posita sunt, vel quae aliunde perquisita ad rem facere videntur, sigillatim examinantur atque conclusiones ita deducuntur omnes, quas ipsa quaestionis natura et conditio requirit. Ipse vero tot quasi intermediae rationes adhibentur ad multiplicem propositionem instituendam inter data et quaesita, commixta simul, sed tamen suo quaeque proprio charactere insignita, quae proportio per varias calculi leges in ordinem ita redigitur, ut tandem cognita et ignota seorsim appareant atque inde quaesita veritas quasi per vim ex tenebris in lucem erumpat.
Nunc autem quis vestrum est, auditores, qui vel ex iis, quae strictim attuli, non facile intelligat egregiam hanc mathematicorum disserendi rationem ad excolendum ingenium conferre plurimum posse? Dum enim illud in variis magnitudinis ideis clare ac distincte percipiendis et in earum habitudinibus maxime perspicuis cognoscendis occupatur, nonneprimam ita sibi primam recte cogitandi regulam
comparare videtur? Dum vero hinc ad intimam earumdem idearum compositionem ascendit atque ut eas mutuo conferat, ad intermedias alias opportune excogitandas, ad certa et nova principia vel e re ipsa vel aliunde petenda ac singula apte congruenter applicanda enixe admodum intendit, solertiae quidem ita sibi et perspicaciae non parum adiungit? Denique dum ad rei summam se convertit et ad plura simul cogitanda eaque certo ordine distribuenda atque alia cum aliis continuato vinculo connectenda ita discurrit, ut celeri quodam motu a prima conclusione ad ultimam transeat, nonne ita maiorem in meditando vim et amplitudinem adipiscitur? Quid, quod industria quoque illa mathematicorum sub sensus ideas suas exhibendi per figuram species vel eas sub angustiis admodum characteribus contrahendi atque adeo ad calculos revocandi, mirum in modum nostram profecto dirigit mentem, amplificat etiam et exacuit. Satis igitur constat nihil utilius esse matheseos insti
tutione ad augendas mentis humanae vires; meministis autem quanti ea momenti sit atque usus in physicis et mechanicis rebus pertractandis ulteriusque promovendis.
Qui sane fructus magni iidemque praeclari cum sint, quid mirum, auditores, si mathematicas disciplinas eximisexhimisillialii antiquitatis philosophis {3}, ProclusIn I Euclidis; Theonis SmyrnaeiSmirnaei in Commentaria ad Platonis libros, cap. 1; Plutarchi in QuaestionibusSimplicii siac. libro 7. quorum opera primum aperti sunt sapientiae fontes, Pythagoras, Plato, Aristoteles, Epicurus aliique pene omnes tam egregie excoluerint ipsi aliisque commendavit? Si in eorum scholiis, ac praecipue in AcademiaAccademia et in Lyceo {4}, Laertius3, 5 etc. pars 2. in quibus uberiores seu doctrinae thesauros recludebant, principem dederint mathematicae locum, et tamquam studiorum omnium instrumentum iuventuti instituendae proposuerint? Quid mirum denique, si aetate quoque nostra, qua vividius facultas ista refulgens luce sua tenebricosam illam Diis iratis natam sapientiam, quae iamdiu scholas obruerat, paulatim dissipavit, ad illud
laudis et celebritatis culmen pervenerit, ut gymnasium nullum, nulla sit in litterario orbe eruditorum societas, ubi non modo cum aliis disciplinis exculta, sed iisdem etiam cognoscendis veluti norma ac fundamentum constituta videatur?
Ad vos itaque rationis simul et auctoritatis pondere confirmata nunc mea se convertit oratio, ornatissimi adolescentes, vosque iam sapientiae studio flagrantes cohortatur, ut si quae utilia maxime, si quae ampla, si quae vera et certa scire in animo habetis, vires ingenii omnes ad elementa matheseos addiscenda conferatis. Neque vos disciplinae huius tanta magnitudo deterreat et difficultas, quantoscumque enim labores susceperitis, pensabit ipsa ingenti faenore emolumenti et voluptatis; conatus autem vestros ego equidem mea pro virili parte adiuvabo, neque enim industriae parcam, neque labori, ut breviorem vobis illius excolendae rationem simulque viam ulterius progrediendi commonstrem. Dixi.