Comitis Hieronymi de Renaldis P.P.
De Synthesi Veterum Geometrarum
Disputatio
Habita in Gymnasio Gimnasio Patavino
Kal. Dec. An. MDCCLXI. Quaerenti mihi saepenumero causam, cur e tanta eruditorum hominum multitudine qui ad geometriae studia hoc tempore praesertim incumbunt, pauci tamen sint qui ratiocinandi vi et perspicacia veteres illos geometras assequantur, ea demum occurrit ratio potissima quod veram ac solidam disciplinae huius excolendae normam plerique minime teneant. Postquam enim viri quidam eximii et antiquorum sectione satis exculti, ut amplificarent geometriae fines, nova quaedam specimina tradiderunt, extitere deinceps alii atque alii qui ultra limites ab illis constitutos ea proferre conati sunt atque invita saepe rerum natura per omnes disciplinae partes propagare, scilicet horum industriae consiliique fuit, non ut ex novis inventis alia, quae nondum reperta essent, identidem excogitarent, sed potius quae inventa subtiliter solideque demonstrata antiqui reliquissent, ea

nobis ipsa exhiberent alia specie, idque tam fidenter quidem, ut non modo suam longe utiliorem, sed elegantiorem etiam veteri illa tractatione, multis iam viris saeculisque probata exaggerarent. Quare factum est ut sensim in scholas reciperetur nova geometriae pertractandae ratio, antiqua vero non sine ingenti studiosorum iuvenum detrimento obsolesceret, adeo ut brevi verendum est ut haec prorsus in oblivionem cadat atque in fastidium etiam, ac quaelibet alia adolescentibus praesertim instituendis fere ubique dominetur. Novam itaque institutionem hanc atque disciplinam ad geometrica studia, vetere neglecta, iam universe propagatam et excultam in causa esse in primis arbitror, cur nostri non ea polleant ratiocinandi arte qua antiqui maxime praestiterunt, idque insigniores etiam nostro aevo geometrae Leibnitius, Neuutonus Neeutonus, Grandius, Wolfius, prae aliis animadverterunt, iidemque iampridem suas in scholas revocavere vetustam illam docendi methodum novorum in dies inventorum feracissimam. Nos igitur et vi rationis impulsi et tantorum virorum auctoritate confirmati, in hac solemni studiorum instauratione synthesim veterum geometrarum cum recentiorum institutionibus conferre eamdemque vin

dicare statuimus, quo simul et nostris geometriae cultoribus praestantissimae disciplinae ideam quamdam in ipso scholae exordio praebeamus et nostram docendi viam, quae veterum vestigiis praesertim insistit, magis magisque confirmemus. Humana ratio, qua nobis una divinitus datum est earum rerum perscrutari vires unde adspectabilis haec universitas coalescit, angustis adeo limitibus circumscribitur ut singulares involutas maxime ipsarum rerum habitudines assequi nequeat nisi prius alias ex aliis evolvens ad simplices et generales usque pervenerit. Primi igitur illi, qui se naturae contemplationi addixere, cum rei cuiusvis peculiaris cognoscendae difficultatem hanc fuissent experti, sese ad summa genera converterunt, notiones contemplati admodum abstractas magnitudinis, figurae, numeri, motus, quibus deinde ad singularem quamlibet investigationem sibi aditum aperirent. Dum autem generalibus hisce ac sublimioribus ideis evolvendis paulo accuratius acuratius incumberent, illorum adeo crevere cogitationes ut ad eas explicandas aliae sint atque aliae disciplinae constitutae, ex quibus illam, quae in magnitudinis explicatione versatur, peculiari geometriae nomine distinxerunt. Apparet igitur vel ex ipsa origine et natura faculta

tem totam ad contemplationem potissimum pertinere, ita ut mens sibi sola quodammodo sufficere possit neque ut disciplinis aliis vel rebus externis indigeat, vel sensuum experimentis. Quae, cum ita sapienter admodum ab antiquis geometris iudicatum puto fore, ut ea in dies incrementa susciperet longe maxima, si quidem mens ad rectam ratiocinandi normam dirigeretur. Id unum est igitur quo eorum industria spectavit universa, ut quotquot essent severioris methodi leges, diligenter observarent, unde ratiocinandi vis et perspicuitas, quae posset esse maxima, consequeretur. Primum itaque in ideis illis quae ad diversa pertinent magnitudinum genera distincte percipiendis operam collocabant, qui probe novissent id unum esse, unde oritur evidentia omnis eoque sublato a veritate turpiter homines aberrare abherrare, singulas deinde notiones explicare ita consueverant ut proprium aliquid ac certum quaelibet repraesentaret, idemque, ut ne levissima quidem superesset ambiguitas, propriis etiam vocibus et signis definiebant. Constitutis ita speciebus illis sive ideis, ut purae essent ac simplices querebatur diligentissime quid in primis consentaneum in iis, quid dissimile videretur, quo nempe constarent prin

cipia illa prima et perspicua, unde omnis ratiocinandi ordo deduci posset. Hinc ulterius progrediebatur eorum pervestigatio, ad eas scilicet conclusiones quae veluti sponte obversarentur animo, tum alias ipsi atque alias eo usque inferre solebant, dum satis amplo consecutionum numero comparato, harum praesidio ad abstrusissima quaeque detegenda feliciter pervenirent, illum perpetuo servantes ordinem ut ex multis antea cognitis ad alia per gradus ascenderent, nihil quidquam assumerent non per semet evidens, vel non satis evidenter exploratum, ut tamdiu denique ratiociniorum nexum protenderent, dum proposita eademque quaesita veritas innotesceret. Haec ratio fuit universa qua geometrae illi antiquissimi Pythagoras, Architas, Plato, Menechmus tam multa tamque praeclara theoremata excogitarunt. Hanc ab iis acceptam deinceps alii summo ingenio viri Hippocrates, Theodosius, Ptolomaeus ac praesertim Euclides, Archimedes et Apollonius constantissime retinuerunt. Hanc denique veteris disciplinae praestantiam posterioris aevi geometrae per mille amplius annos tanta quidem admiratione suspexere, ut toto temporis illius intervallo vix unus aut alter repertus fuerit inter Arabos, primos Graecorum interpretes, qui naevos ullos quaereri in Euclide aliisque sint ausi. Verum proximis hisce temporibus quorumdam ingeniorum

licentia in diiudicandis veterum scriptis longe lateque grassata est. Illud imprimis quibusdam minime probatur, quod ii prolixam admodum et difficilem disserendi viam institerint. Quid est enim, inquiunt, cur adeo longa ratiociniorum serie sua theoremata nondum satis exculta adolescentium ingenia plurimum defatigentur, ut vix aut ne vix quidem doctrinis illis sublimioribus intelligendis idonei esse videntur? Nihil porro quidquam a simplici veritatis perquirendae ratione magis abhorret quam conclusionum perpetua connexio illa, qua fit, ut propositum comprehendere nequeas, nisi prius alia atque alia rite cognoveris simulque in mentem revocaveris? Sunt vero alii, qui Euclidi praesertim vitio vertant, quod saepe rei cuiuspiam explicandae causa argumenta petat aliunde, non e re ipsa, itaque proprium ac naturalem rerum ordinem ubique pervertat. Quidnam est causae, aiunt, cur tanto linearum apparatu trianguli isoscelis angulos ad basim aequales esse demonstret, si facili negotio directa planaque via id ipsum ostendere poterat? Quam etiam a naturae ipsius ordine videtur alienum, ut quae ad eamdem magnitudinis speciem veluti ad triangulum spectant, ea non uno eodemque loco contineantur, quaeque simpliciora ac generaliora sunt, veluti proportionum doctrina, minus universali

bus vel magis involutis non praeferamur? Quae quidem idearum inde orta confusio discentium animos obruat necesse est. Postremum eorum genus est, qui non tractationem arguunt, sed principia veterum geometrarum eaque utpote nimis obscura ac minus apte constituta reicere conantur; ecquis erit umquam, ut ipsi loquuntur, qui principium illud aequemultiplicium magnitudinum, quo rationum similium natura continetur universa, non in dubium revocaverit, cum sit per se minus evidens nullaque probatione ab Euclide munitum? Neque vero quemquam reperies, cui satis accurata videatur quam tradit Euclides linearum parallelarum definitio, cum ex omni parte rei definitae minime conveniat? Nonne ita evidentiam omnem, cui potissimum consulere antiqui geometrae tantopere gloriantur, nisi prorsus auferri, certe plurimum extenuari frangique fatendum est? Haec praecipua sunt, auditores optimi, quae adversus magnos illos geometriae inventores nostri exaggerare nituntur, in quibus quantopere fallantur minusque prudenter agant ex iis, quae dicturus sum, vestrum quemque confido facile perspicuum. Primi igitur illi qui de longa atque implicata veterum synthesi conqueruntur, cur, quaeso, non animadvertunt idipsum in qualibet alia humanae cognitionis

parte prorsus evenire, si modo intimam rerum intelligendarum naturam perscrutati velimus. Cum enim quid in quaque re verum sit, non aliter quam multiplices idearum habitudines conferendo inter se invicem cognosci possit, perraro accidit sane, ut statim ac notiones seu species obversantur animis, earum similitudo pateat ipsa per se, itaque plures alias subsidio ideas sibi adsciscat mens nostra necesse est, quibus recte collegata ratiociniorum serie eam quam quaerit, analogiam facile assequatur. Nil aliud profecto agunt suis dogmatis investigandis methaphysici, nil aliud mechanici caeterique cuiusvis generis philosophi, ut mirari non subeat, si, quae necessaria et communis est philosophandi ratio, ea ipsa a geometris adhibeatur. Fateor equidem, discentibus on nihil exhibere negotii vinculum illud, quo veritates aliae pluribus aliis contexuntur ac colligantur, sed quidquid in eo fastidii est, orta inde voluptas pensat ingenti faenore. Quo plus etenim meditando desudaveris eo maiore laetitia inventa veritas animum perfundet. Praeterea vero in eo plurimum utilitatis esse video, quod ita studiosorum iuvenum ingenia, quae caeteroqui levitate quadam quaquaversus quaqueversus distracta vagari solent, rerum contemplatione diutius immorari assuescant.

Quod autem obiciunt alii naturalem plerumque negligi a veteribus ordinem, ut quae ad unum idemque spectant rerum genus, non uno eodemque loco contineantur, in eo certe eum minus recte sentiunt, tum minus proprie loquuntur. Etenim existimo vestrum esse neminem, auditores, qui si paulo paullo accuratius aliquando contemplatus fuerit rerum naturalium seriem, non animadverterit quemadmodum ea primum in natura locum habeant, quae viam ad alia sternunt, eaque subsequantur, quae a prioribus pendent, minime vero quae sunt unius eiusdemque generis eodem referantur universa? Nonne corporis humani, quo nihil est praestantius nihilque aptius constitutum, ita partes singulas ossa, musculos, venas, arterias, natura coordinavit, prout cuiusque organi postularet officium, non autem iuxta ordinem illum quo eadem per summa genera arbitratu quisque suo describunt anatomici? Huic quidem quam simillimus apud veteres rei geometricae pertractandae ordo fuisse videtur, nimirum ut notiones et principia theorematis praemittentur atque ex hisce occurrerent primum quae perquirendis aliis dignoscendisque opem aliquam exhiberent, ut verius dicendum sit, ordinem hunc cum naturali prorsus consentire, quemlibet autem alium nostrae mentis esse figmentum a natura ipsa vel maxime abhorrens. Postremo nobis obviam veniunt ii qui in principiis ac defi

nitionibus decernendis decipi antiquos geometras arbitrantur. Quibus, ut verum fatear, haud omnino negaverim, eos errare aliquando potuisse, quod licet ingenio praestantes, homines tamen essent, minime vero ab illis in eo peccatum esse concedam quod perperam isti et iniuriose admodum reprehendunt. Quid est tandem, cur tam insigniter arguant Euclidem, quod paralellas lineas ita definierit, ut eiusdem generis minime complectatur universas, si ea tantum libertate usus est quae solet caeteri concedi omnibus, ut arbitratu quisque suo vocabulis quamlibet significationem adscribat? Quid? Ubi de natura rei definitae non agitur, ut in mathematica passim, nonne debet esse satis ut, quod praecipiunt logici, quo sensu quidpiam semel acceperimus, eodem perpetuo retineamus? Neque vero causa ulla est, cur tam aspera reiciant aequemultiplicium magnitudinum principium illud, cum tam certum, tam generale praebeat fundamentum doctrinae proportionum universae. At enim eiusdem vis et ratio non facile innotescit. Itane mira ingenii felicitas Euclidis cum virium nostrarum imbecillitate comparatur? Ille etenim pro ingenii quo pollebat acumine legem hanc distincte admodum comprehendat, nec mehercule cuipiam suboscura videri possit, si de ea attentius

cogitaverit, si uno aut alieno exemplo ipsius perspicuitatis et evidentiae periculum fecerit. Videtis, opinor, auditores, vel ex hoc specimine, quam sit infirma, quam rationum momentis omnibus destituta eorum oratio qui antiquam geometriam mendis scatere tantopere iactant. Putatis ne, cum adeo miserum fuerit in ea redarguenda iudicium, horum conatus ad illam emendandam fuisse feliciores? Quid enim, ut effugerent longam, quam vocant, et involutam disserendi rationem potissimum excogitarunt? Illud imprimis, ut litterarum notis ad exprimendas ideas in verborum locum substitutis, conclusiones ita brevius per analysim enuntiarent quam sane rem parui momenti esse neque ad incommodum illud, si incommodum quidem dicendum est, auferendam idoneam vel ex eo facile intelligitur, quod ita verborum potius quam rerum rationem habeant, nec aliud quidquam agant nisi ut paucioribus signis ipsa ratiocinia minus explicata videantur. Quod si aliquando synthesi veterum geometrarum minime inhaerentes viam illi prorsus analyticam teneant, cum id efficere nequeant, quin prius tradant eius artis elementa, neminem vestrum esse puto, auditores, cui non incommodum magis ac molestum studiosis esse videatur, oportere opportere nonnulla eaque sublimiora ex analysi saltem delibare, antequam ad geome

triae tractationem proprius accedant. Quid quod conclusiones ipsae ita ad calcolum quodammodo revocatae, carent evidentia illa, qua, adhibita veterum synthesi, potissimum praestant? Haec enim tum singillatim cuiusvis ratiocinii, tum simul omnium progressionem et nexum animis distincte repraesentant; contra vero analysis praeter generalia quaedam principia obliquo ac prorsus ignoto tramite ad alia plerumque procedit, ut praeter spem etiam aliquando quaesita veritas erumpat. Videamus porro, quid praestiterint ii, qui minus naturalem esse antiquorum methodum temere existimantes, geometriam, ut disciplinas alias, scholarum more pertractandam susceperunt. Hi videlicet primo generales tradunt proportionum leges, quas ad quintum Elementorum vetulit Euclidem; deinde vero lineas, superficies et solida corpora ordine persecuuntur. Enimvero praeclare aliquid se ita moliri gloriantur. At si rem expendere velis aequo iudicio, minus certe cum studiosorum ingenio, tum doctrinarum evidentiae ab iis ita consultum invenies. Nihil etenim quidquam omnium consensu tam difficile est, quam abstractas nosse rerum notiones earumque generales habitudines; ob hanc potissimum causam, quod altiorem postulat contemplationem, quam undique irruentes sensuum affectiones extenuant animosque ab ea saepissime avertunt. Nunc autem, si quid recte iudico, inter sublimiora magisque recondita habenda est

proportionum doctrina, ut humani ingenii vim omnino superare videatur. Quid igitur, obsecro, tam est absurdum rectaeque institutioni adversum quam ea docere prius quae vix, aut ne vix quidem, probe intelligi possint, ea vero deinceps quae simplicissima sint atque adeo captu longe faciliora? Hoc certe perinde est ac si a pulcherrimo utilissimoque geometriae studio minus prompta iuvenum ingenia abstinere velimus quae vel levissima difficultate terreri plerumque videmus. At si nullam prorsus isti rationem habuere iuventutis facilius instituendae, doctrinarum saltem satis firmiter stabiliendae veritatis rationem aliquam habuissent. Verum ad hanc eorum disserendi normam diligentius attendenti, nonne passim notiones occurrunt non admodum distinctae, voces nonnullae haud satis recte definitae, principia demum quae ratione et evidentia fere omni destituuntur. Nihil sane novi, nihil a veritate alienum refero apud eos qui in percurrendis Rami, Pardii, Borelli elementis aliquando operam collocarunt. Horum autem? Immo etiam Arnaldi, Lamii, Dedierii, qui ceteroquin praestantissimi fuere viri, et cum de doctrinis aliis, tum praesertim de mathematicis rebus optime meriti. Ad illos tandem mea oratio vertitur qui novitatis nimio plus amatores et veterem disciplinae tractationem omnino reiicientes, novas ipsi notiones et principia, novam

quasi artem quamdam aedificarunt. Si etenim varias magnitudinis species ex minimis aliis quae dividi nequeant, lineas nimirum ex punctis, plana vero ex lineis, et corpora ex superficiebus individuis constare volunt easque vel in unum collectas similiterque positas fingunt esse, vel uniformi et continuo motu circumactas. Hinc tamquam principium deducunt universae, si unius magnitudinis partes omnes individuae cum partibus similiter individuis alterius comparatae inter se rationem aliquam habeant, eamdem ipsis etiam magnitudinibus integris convenire, quo principio ita constituto ab iis commune inde spatiorum et corporum affectiones pervestigantur. Nunc autem ecquis est, auditores, qui totam hanc de magnitudinibus individuis speculationem non puram putamque hypothesim esse sibi persuadeat atque commentum? Primum quidem illud me maxime movet quod ipsa entis individui non vera, sed ficta sit notio, cum tale quippiam nec extiterit umquam, neque existere possit. Ad genesim vero quod attinet figurarum ex magnitudinibus illis individuis uno eodemque modo sitis atque collatis, id quoque eiusmodi commentum est, ut quamdam potius similitudinem, quam expressam veritatis effigiem prae se ferre videatur. Quid de principio illo dixerim quo tamquam generali huiusce novae geometriae fun

damento magnitudinum rationes omnes atque proprietates amplecti volunt. Nihil plane tam dubium, nihil tam obscurum interesse inter eiusmodi quantitates, quas individuas esse antea arbitrati sunt. Numquid theoremata ipsa certiora esse putem magisque perspicua, si fundamenta haec prima tam obscura sunt, tantopere labant, tam facile corruunt? Abeant igitur isti novae geometriae cultores et vindices deque eiusdem praestantia gloriari aliquando desistant. Verum quid sentiant isti, nihil sane refert nostra, si malint errorum tenebris praefracte immorati, quam sibi oblatam veritatis lucem intueri, ipsi sibi viderint. Vos vero, qui ad geometriae studium emendandae mentis causa praesertim convenistis, adolescentes, fructum hunc nolite sperare adeo praeclarum, nisi, post habitis novorum geometrarum artificiis, severam illam ac solidam ratiocinandi normam retinueritis, quae sicut in geometricis rebus explicandis non dicam princeps, sed una est, ita utilitate atque usu in aliis sive scientiis sive artibus addiscendis facile omnibus antecellit.

Alla Cancelleria Prel.